Tỷ lệ vàng

Tỷ lệ vàng φ {\displaystyle \varphi } (phi), được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ. Có thể chứng minh rằng nếu quy độ dài đoạn lớn về đơn vị thì tỷ lệ này là nghiệm dương của phương trình:

1 x = x 1 + x {\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {x}{1+x}}} , hay tương đương x 2 − x − 1 = 0 , {\displaystyle x^{2}-x-1=0,\,}

chính là số φ = ( 1 + 5 ) 2 ≈ 1.618 033 989 {\displaystyle \varphi ={\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}\approx 1.618\,033\,989} .

Công thức dạng tường minh

Cũng như mọi dãy số xác định bởi công thức đệ quy tuyến tính, các số Fibonacci có thể tìm được công thức dạng tường minh.

Ta sẽ chứng minh (công thức Binet):

F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 {\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}} , trong đó φ {\displaystyle \varphi } là tỷ lệ vàng ở trên.

Như vậy, từ hệ thức truy hồi Fibonacci ta có:

F ( n + 2 ) − F ( n + 1 ) − F ( n ) = 0. {\displaystyle F(n+2)-F(n+1)-F(n)=0.\,}

sẽ dẫn tới phương trình xác định tỷ lệ vàng

x 2 − x − 1 = 0 , {\displaystyle x^{2}-x-1=0,\,}

(là phương trình đa thức dặc trưng của hồi quy).

Chứng minh

Chứng minh (bằng quy nạp):

Một nghiệm bất kỳ của phương trình trên thoả mãn tính chất x 2 = x + 1 , {\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}=x+1,\end{matrix}}\,} . Nhân hai vế với x n − 1 {\displaystyle x^{n-1}\,} có:

x n + 1 = x n + x n − 1 {\displaystyle x^{n+1}=x^{n}+x^{n-1}\,}

Chú ý rằng, theo định nghĩa φ {\displaystyle \varphi } là một nghiệm của phương trình và nghiệm kia là 1 − φ {\displaystyle 1-\varphi } . Do đó:

φ n + 1 {\displaystyle \varphi ^{n+1}\,}	= φ n + φ n − 1 {\displaystyle =\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}\,} và
( 1 − φ ) n + 1 {\displaystyle (1-\varphi )^{n+1}\,}	= ( 1 − φ ) n + ( 1 − φ ) n − 1 {\displaystyle =(1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1}\,}

Bây giờ định nghĩa hàm:

F a , b ( n ) = a φ n + b ( 1 − φ ) n {\displaystyle F_{a,b}(n)=a\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}} xác định với mọi số thực a , b {\displaystyle a,b\,}

Tất cả các hàm này thỏa mãn hệ thức truy hồi Fibonacci, thật vậy:

F a , b ( n + 1 ) {\displaystyle F_{a,b}(n+1)\,}	= a φ n + 1 + b ( 1 − φ ) n + 1 {\displaystyle =a\varphi ^{n+1}+b(1-\varphi )^{n+1}}
	= a ( φ n + φ n − 1 ) + b ( ( 1 − φ ) n + ( 1 − φ ) n − 1 ) {\displaystyle =a(\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1})+b((1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1})}
	= a φ n + b ( 1 − φ ) n + a φ n − 1 + b ( 1 − φ ) n − 1 {\displaystyle =a{\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}}+a{\varphi ^{n-1}+b(1-\varphi )^{n-1}}}
	= F a , b ( n ) + F a , b ( n − 1 ) {\displaystyle =F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,}

Bây giờ chọn a = 1 / 5 {\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}} và b = − 1 / 5 {\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}} . Tiếp tuc:

F a , b ( 0 ) = 1 5 − 1 5 = 0 {\displaystyle F_{a,b}(0)={\frac {1}{\sqrt {5}}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}=0\,\!}

và

F a , b ( 1 ) = φ 5 − ( 1 − φ ) 5 = − 1 + 2 φ 5 = − 1 + ( 1 + 5 ) 5 = 1 , {\displaystyle F_{a,b}(1)={\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\varphi )}{\sqrt {5}}}={\frac {-1+2\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {-1+(1+{\sqrt {5}})}{\sqrt {5}}}=1,}

những chứng minh ở trên chứng tỏ rằng

F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 {\displaystyle F(n)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}} với mọi n.

Chú ý rằng, với hai giá trị khởi đầu bất kỳ của a , b {\displaystyle a,b} , hàm F a , b ( n ) {\displaystyle F_{a,b}(n)\,} là công thức tường minh cho một loạt các hệ thức truy hồi.

Giới hạn của thương kế tiếp

Johannes Kepler, đã chứng minh sự hội tụ sau:

F ( n + 1 ) F ( n ) {\displaystyle {\frac {F(n+1)}{F(n)}}\,} hội tụ tới tỷ lệ vàng φ {\displaystyle \varphi } (phi)

Thực ra kết quả này đúng với mọi cặp giá trị khởi đầu, trừ (0, 0).

Từ công thức tường minh, ta có, với mọi a ≠ 0 , b ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0,b\neq 0} :

lim n → ∞ F a , b ( n + 1 ) F a , b ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}}}	= lim n → ∞ a φ n + 1 − b ( 1 − φ ) n + 1 a φ n − b ( 1 − φ ) n {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi ^{n+1}-b(1-\varphi )^{n+1}}{a\varphi ^{n}-b(1-\varphi )^{n}}}}
	= lim n → ∞ a φ − b ( 1 − φ ) ( 1 − φ φ ) n a − b ( 1 − φ φ ) n {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi -b(1-\varphi )({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}{a-b({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}}}
	= φ {\displaystyle =\varphi } ,

vì thế, như dễ dàng thấy, | 1 − φ φ | < 1 {\displaystyle \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right|<1} và như vậy lim n → ∞ ( 1 − φ φ ) n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right)^{n}=0}

Chứng minh